生日悖论的排列解法

问题是:当一个房间里的人数必须达到多少,才能使至少有两个人生日相同的机会达到50%?假设一年是365天,而且每个人的生日是平均分布在每一天的。

首先,至少有两个人生日相同,表示有多人生日相同也是符合要求的,那我们就采用补的方法,至少有两个人生日相同的概率等于1减去所有人的生日都互异的概率。\(P_1\) 表示所有人生日互异的概率。

\[ P = 1 - P_1 \]

现在问题就是 \(P_1\) 等于多少? 最简单的方法就是用排列来思考。假设房间内有k个人,在365天里面选出k天进行排列,每个人的生日对应其中一天的概率是\(1/365\),那么

由不等式 \(1+x \le {e^x}\) ,得

所以当房间里人数达到23个时,至少有两个人生日相同的概率达到50%。